حل تمرین صفحه 42 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۴۲ حسابان یازدهم سلام! این تمرین بر مفهوم **تابع** تأکید دارد. یک تابع، یک رابطه است که در آن هر ورودی ($x$) دقیقاً یک خروجی ($y$) دارد. دو شرط اصلی در این سوال عبارتند از: 1. **تابع بودن**: نمودار باید آزمون خط عمودی را با موفقیت پشت سر بگذارد. 2. **شامل $A$ و $B$ بودن**: نمودار باید از نقاط $A$ و $B$ عبور کند. ### ۱. بررسی امکان رسم نقاط $A$ و $B$ دارای مختصات متفاوتی هستند (با توجه به شکل، $x_A \ne x_B$). * **نقطه $A$**: در ربع دوم قرار دارد ($x_A < ۰, y_A > ۰$) * **نقطه $B$**: در ربع چهارم قرار دارد ($x_B > ۰, y_B < ۰$) با توجه به اینکه $\mathbf{x}$های نقاط $A$ و $B$ متفاوت هستند، هر تابعی که از این دو نقطه بگذرد، آزمون خط عمودی را نقض نخواهد کرد. بنابراین، رسم تابع امکان‌پذیر است. ### ۲. رسم یک مثال ما می‌توانیم یک **خط راست** از $A$ و $B$ رسم کنیم، یا یک **منحنی درجه دوم (سهمی)** یا هر شکل منحنی دیگری که از این دو نقطه بگذرد و تابع باشد. **مثال ساده**: می‌توان یک خط راست از $A$ و $B$ رسم کرد. ### ۳. تعداد توابع برای هر مجموعه‌ای از نقاط که در آن **هیچ دو نقطه‌ای دارای طول یکسان نباشند** (مثل $A$ و $B$)، می‌توان **بی‌شمار** تابع با ضابطه‌های مختلف (مانند خطی، سهمی، چندجمله‌ای مرتبه بالاتر، یا حتی توابع چندضابطه‌ای) رسم کرد که از تمام آن نقاط عبور کنند. **نتیجه**: **بی‌شمار تابع** وجود دارند که از نقاط $A$ و $B$ عبور کنند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۴۲ حسابان یازدهم این تمرین بر **مفاهیم اساسی** تابع شامل دامنه، برد و هم‌دامنه تمرکز دارد. 🧐 --- ### الف) اگر دامنه دو تابع برابر و برد آن‌ها نیز برابر باشد، دو تابع برابرند. * **نادرست (✖️)** * **دلیل**: برای برابری دو تابع، علاوه بر **برابری دامنه** و **برابری هم‌دامنه** (که در صورت مسئله اشاره نشده)، باید **ضابطه** آن‌ها نیز برابر باشد. برای مثال، توابع $f(x) = x^۲$ و $g(x) = |x|$ در دامنه $[-۱, ۱]$، دامنه و برد مساوی دارند ($D_f=D_g=[-۱, ۱]$، $R_f=R_g=[۰, ۱]$) اما **ضابطه‌هایشان مساوی نیست** ($f(-۱) \ne g(-۱)$). ### ب) برد و هم‌دامنه تابع می‌تواند یکی باشند. * **درست (✔️)** * **دلیل**: تعریف تابع مستلزم آن است که **برد همیشه زیرمجموعه‌ای از هم‌دامنه باشد** ($R_f \subseteq C_f$). اما می‌توان توابعی تعریف کرد که در آن‌ها برد و هم‌دامنه کاملاً مساوی باشند (به چنین توابعی **پوشا** می‌گویند). مثال: $f(x) = x$ با $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. در این حالت $R_f = C_f = \mathbb{R}$. ### پ) هم‌دامنه تابع زیرمجموعه‌ای از برد آن است. * **نادرست (✖️)** * **دلیل**: این عبارت **برعکس** تعریف صحیح است. در تعریف تابع، **برد ($R_f$) همیشه زیرمجموعه‌ای از هم‌دامنه ($C_f$) است** ($R_f \subseteq C_f$). در حالتی که تابع پوشا نباشد، هم‌دامنه لزوماً بزرگتر از برد است. ### ت) بی‌شمار تابع وجود دارد که دامنه آن بازه $[۰, ۳]$ است. * **درست (✔️)** * **دلیل**: با یک دامنه مشخص ($D_f = [۰, ۳]$)، می‌توان **بی‌شمار ضابطه** مختلف تعریف کرد. به عنوان مثال، توابع $f(x)=x$, $g(x)=x^۲$, $h(x)=x+۱$ و... که همگی دارای دامنه $[۰, ۳]$ هستند و هیچ دو تای آن‌ها باهم برابر نیستند (به دلیل اختلاف در ضابطه).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۴۲ حسابان یازدهم ### ۱. مثال برای تابع یک تابع باید دارای ضابطه‌ای باشد که تنها برای $\mathbf{x > ۰}$ (اعداد حقیقی مثبت) تعریف شده باشد. ساده‌ترین مثال‌ها توابعی هستند که در ضابطه آن‌ها، محدودیت‌های ذاتی (مانند رادیکال یا کسر) دامنه $\mathbb{R}^+$ را به دنبال داشته باشند: * **مثال ۱ (رادیکالی)**: $f(x) = \sqrt{x}$. دامنه طبیعی $\mathbf{[۰, \infty)}$ است. اگر دامنه را به $\mathbf{(۰, \infty)}$ محدود کنیم، شرط برقرار است. * **مثال ۲ (کسری)**: $g(x) = \frac{۱}{\sqrt{x}}$. دامنه طبیعی $\mathbf{(۰, \infty)}$ است. * **مثال ۳ (خطی)**: $h(x) = ۲x$ با دامنه تعریف شده $D_h = \mathbf{(۰, \infty)}$. **تابع پیشنهادی**: $\mathbf{g(x) = \frac{۱}{\sqrt{x}}}$ ### ۲. تعداد توابع تعداد توابعی که دامنه آن‌ها مجموعه اعداد حقیقی مثبت ($D_f = (۰, \infty)$) است، **بی‌شمار** است. **دلیل**: برای هر دامنه مشخص، می‌توان بی‌شمار ضابطه متفاوت (مانند $x+۱$, $x^۲$, $\sin(x)$, $\ln(x)$ و...) تعریف کرد که دامنه آن‌ها با دامنه مورد نظر مساوی باشد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۴۲ حسابان یازدهم سلام! این تمرین بر مفهوم **رابطه و تابع** بین دو مجموعه متناهی تأکید دارد. * **مجموعه دامنه**: $A = \{a, b, c\}$ (۳ عضو) * **مجموعه هم‌دامنه**: $B = \{d, e\}$ (۲ عضو) ### ۱. محاسبه تعداد کل توابع برای هر عضو از دامنه ($a, b, c$)، دقیقاً دو انتخاب در هم‌دامنه ($d$ یا $e$) وجود دارد. تعداد کل توابع برابر است با: $$\text{تعداد توابع} = (\text{تعداد اعضای هم‌دامنه})^{\text{تعداد اعضای دامنه}} = |B|^{|A|} = ۲^۳ = \mathbf{۸}$$ ### ۲. نوشتن تمام توابع (به صورت زوج مرتب) | تابع | $f(a)$ | $f(b)$ | $f(c)$ | نمایش زوج مرتب | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{f_۱}$ | $d$ | $d$ | $d$ | $\{(a, d), (b, d), (c, d)\}$ | | $\mathbf{f_۲}$ | $d$ | $d$ | $e$ | $\{(a, d), (b, d), (c, e)\}$ | | $\mathbf{f_۳}$ | $d$ | $e$ | $d$ | $\{(a, d), (b, e), (c, d)\}$ | | $\mathbf{f_4}$ | $d$ | $e$ | $e$ | $\{(a, d), (b, e), (c, e)\}$ | | $\mathbf{f_۵}$ | $e$ | $d$ | $d$ | $\{(a, e), (b, d), (c, d)\}$ | | $\mathbf{f_۶}$ | $e$ | $d$ | $e$ | $\{(a, e), (b, d), (c, e)\}$ | | $\mathbf{f_۷}$ | $e$ | $e$ | $d$ | $\{(a, e), (b, e), (c, d)\}$ | | $\mathbf{f_۸}$ | $e$ | $e$ | $e$ | $\{(a, e), (b, e), (c, e)\}$ | **نتیجه**: ۸ تابع مختلف از مجموعه $A$ به مجموعه $B$ وجود دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۴۲ حسابان یازدهم برای اینکه دو تابع **مساوی** باشند، باید **هر سه شرط** زیر را داشته باشند: **۱. دامنه مساوی، ۲. هم‌دامنه مساوی، ۳. ضابطه مساوی**. ### ۱. توابع با ضابطه قدر مطلقی/دوضابطه‌ای: * **$f(x) = |x|$** * $D_f = \mathbb{R}$، $C_f = \mathbb{R}$ * **$h(x) = \begin{cases} x, & x \ge ۰ \\ -x, & x < ۰ \end{cases}$** * $D_h = \mathbb{R}$، $C_h = \mathbb{R}$ * **مقایسه $f$ و $h$**: ضابطه $h(x)$، **تعریف دقیق** تابع قدر مطلقی $f(x)=|x|$ است. دامنه و هم‌دامنه آن‌ها نیز مساوی است. **نتیجه: $f$ و $h$ مساوی هستند.** ### ۲. توابع با ضابطه خطی: * **$g(x) = ۵x$** * $D_g = \mathbb{R}$، $C_g = \mathbb{R}$ * **$s(a) = ۵a$** * $D_s = \mathbb{R}$، $C_s = \mathbb{R}$ * **توجه**: ضابطه $s(a)$ و $g(x)$ یکسان است ($۵x$). نام متغیر (a یا x) تفاوتی ایجاد نمی‌کند. * **$r(a) = ۵a$** * $D_r = [۰, +\infty)$، $C_r = \mathbb{R}$ * **$t(x) = ۵x$** * $D_t = \mathbb{R} - \{۰\}$، $C_t = \mathbb{R}$ * **مقایسه $g$ و $s$**: دامنه، هم‌دامنه و ضابطه آن‌ها مساوی است. **نتیجه: $g$ و $s$ مساوی هستند.** * **مقایسه $g$ با $r$ و $t$**: دامنه $D_r$ و $D_t$ با $D_g$ مساوی نیستند. ### توابع مساوی 1. **$f(x) = |x|$ و $h(x) = \begin{cases} x, & x \ge ۰ \\ -x, & x < ۰ \end{cases}$** 2. **$g(x) = ۵x$ و $s(a) = ۵a$**

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۴۲ حسابان یازدهم این تمرین تکرار تمرین ۴ است و هدف آن درک کامل مفهوم تابع از طریق تعریف گرافیکی (زوج مرتب) است. * **مجموعه دامنه**: $A = \{a, b, c\}$ (۳ عضو) * **مجموعه هم‌دامنه**: $B = \{d, e\}$ (۲ عضو) * **تعداد کل توابع**: $۲^۳ = ۸$ تابع. ### ۱. نمایش زوج مرتب توابع (۸ تابع) | تابع | نمایش زوج مرتب | | :---: | :---: | | $\mathbf{f_۱}$ | $\{(a, d), (b, d), (c, d)\}$ | | $\mathbf{f_۲}$ | $\{(a, d), (b, d), (c, e)\}$ | | $\mathbf{f_۳}$ | $\{(a, d), (b, e), (c, d)\}$ | | $\mathbf{f_4}$ | $\{(a, d), (b, e), (c, e)\}$ | | $\mathbf{f_۵}$ | $\{(a, e), (b, d), (c, d)\}$ | | $\mathbf{f_۶}$ | $\{(a, e), (b, d), (c, e)\}$ | | $\mathbf{f_۷}$ | $\{(a, e), (b, e), (c, d)\}$ | | $\mathbf{f_۸}$ | $\{(a, e), (b, e), (c, e)\}$ | **نکته**: در هر تابع، هر عضو از $A$ (عضو اول هر زوج مرتب) دقیقاً یک بار ظاهر شده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۴۲ حسابان یازدهم این یک کاربرد جذاب از توابع خطی در علوم زیستی و انسان‌شناسی قانونی است که بر اساس رابطه خطی بین طول استخوان بازو ($x$) و قد ($M(x)$ یا $F(x)$) کار می‌کند. --- ### الف) محاسبه قد با داشتن طول استخوان بازو (مردان) * **ضابطه**: $M(x) = ۲.۸۹x + ۷۰.۶۴$ * **ورودی**: $x = ۳۵$ سانتی‌متر $$M(۳۵) = ۲.۸۹(۳۵) + ۷۰.۶۴$$ $$M(۳۵) = ۱۰۱.۱۵ + ۷۰.۶۴ = \mathbf{۱۷۱.۷۹}$$ **نتیجه**: قد مرد تقریباً **۱۷۱.۷۹ سانتی‌متر** است. --- ### ب) محاسبه طول استخوان بازو با داشتن قد (مردان) * **ضابطه**: $M(x) = ۲.۸۹x + ۷۰.۶۴$ * **خروجی**: $M(x) = ۱۸۵$ سانتی‌متر معادله را حل می‌کنیم: $$۱۸۵ = ۲.۸۹x + ۷۰.۶۴$$ $$۲.۸۹x = ۱۸۵ - ۷۰.۶۴ = ۱۱۴.۳۶$$ $$x = \frac{۱۱۴.۳۶}{۲.۸۹} \approx \mathbf{۳۹.۵۷}$$ **نتیجه**: طول استخوان بازوی مرد تقریباً **۳۹.۵۷ سانتی‌متر** است. --- ### پ) طرح سؤال و پاسخ برای تابع $F(x)$ (زنان) * **تابع زنان**: $F(x) = ۲.۷۵x + ۷۱.۴۸$ **۱. طرح سؤال (مشابه الف)**: > **اگر طول استخوان بازوی یک زن ۳۰ سانتی‌متر باشد، قد تقریبی او چقدر است؟** **پاسخ به سؤال (محاسبه قد)**: $$F(۳۰) = ۲.۷۵(۳۰) + ۷۱.۴۸$$ $$F(۳۰) = ۸۲.۵ + ۷۱.۴۸ = \mathbf{۱۵۳.۹۸}$$ قد زن تقریباً **۱۵۳.۹۸ سانتی‌متر** است. **۲. طرح سؤال (مشابه ب)**: > **اگر قد یک زن ۱۶۰ سانتی‌متر باشد، طول استخوان بازوی او چقدر است؟** **پاسخ به سؤال (محاسبه طول استخوان بازو)**: $$۱۶۰ = ۲.۷۵x + ۷۱.۴۸$$ $$۲.۷۵x = ۱۶۰ - ۷۱.۴۸ = ۸۸.۵۲$$ $$x = \frac{۸۸.۵۲}{۲.۷۵} \approx \mathbf{۳۲.۱۹}$$ طول استخوان بازوی زن تقریباً **۳۲.۱۹ سانتی‌متر** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۴۲ حسابان یازدهم سلام! این تمرین شما را وادار می‌کند تا با استفاده از **شرایط مرزی و ضابطه‌های جزئی**، یک تابع **چندضابطه‌ای** را بازسازی کنید. دامنه تابع $\mathbf{D_f = \mathbb{R}}$ است. ### گام اول: تعیین ضابطه‌های جزئی **۱. بازه $x > ۲$ (شرط پ)**: تابع به هر عدد بزرگ‌تر از ۲، مربع آن را نسبت می‌دهد: $$\mathbf{f(x) = x^۲} \quad \text{برای } x > ۲$$ **۲. بازه $[۰, ۲]$ (شرط ب و الف)**: تابع در این بازه **ثابت** است. * از شرط (الف) می‌دانیم $athbf{f(۲) = ۳}$. * چون در $[۰, ۲]$ تابع ثابت است، پس مقدار ثابت برابر $f(۲)$ است. $$\mathbf{f(x) = ۳} \quad \text{برای } ۰ \le x \le ۲$$ **۳. بازه $x < ۰$ (شرط الف و ت)**: تابع در این بازه **خطی** است، از $athbf{A(-۳, ۰)}$ می‌گذرد و از $athbf{B(-۵, -۲)}$ نیز می‌گذرد (شرط الف: $f(-۵)=-۲$ و شرط ت: قطع محور $x$ در $-۳$). * **شیب ($m$)**: $$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-۲ - ۰}{-۵ - (-۳)} = \frac{-۲}{-۲} = \mathbf{۱}$$ * **معادله خط**: با شیب $m=۱$ از $A(-۳, ۰)$ می‌گذرد: $$y - y_A = m(x - x_A) \implies y - ۰ = ۱(x - (-۳))$$ $$\mathbf{f(x) = x + ۳} \quad \text{برای } x < ۰$$ ### گام دوم: نوشتن ضابطه نهایی تابع $f(x)$ از پیوند سه ضابطه به دست می‌آید: $$\mathbf{f(x) = \begin{cases} x + ۳, & x < ۰ \\ ۳, & ۰ \le x \le ۲ \\ x^۲, & x > ۲ \end{cases}}$$ ### گام سوم: رسم نمودار 1. **برای $x < ۰$**: خط $y = x + ۳$. از $(۰, ۳)$ (توخالی) به سمت چپ پایین می‌آید و از $(-۳, ۰)$ و $(-۵, -۲)$ می‌گذرد. 2. **برای $[۰, ۲]$**: خط افقی $y = ۳$. یک پاره‌خط افقی با نقاط پر $(۰, ۳)$ و $(۲, ۳)$ است. 3. **برای $x > ۲$**: سهمی $y = x^۲$. از $(۲, ۴)$ (توخالی) شروع می‌شود و با تندی افزایش می‌یابد. **نکته پیوستگی**: در $x=۰$: $f(۰)=۳$. از سمت چپ: $f(۰^-)=۰+۳=۳$. (پیوسته) در $x=۲$: $f(۲)=۳$. از سمت راست: $f(۲^+)=۲^۲=۴$. (ناپیوسته)